Affichage tableau de bord et problème de démarrage DT50SM

Affichage tableau de bord et problème de démarrage DT50SM

Bonjour,

J'ai acheté en début d'année 2020 une DT50SM de 2007 à mon gamin, qui vient d'avoir son BSR.
Une bécane d'occasion entièrement d'origine (c'est ce qui m'a motivé), achetée en dépôt vente chez un Pro (2ème motivation), avec un moteur et un pneu arrière neufs (3ème motivation).

Mon gamin n'a roulé que 300km avec depuis, car nous allons de problème en problème.
Après avoir shunté la sécurité de béquille qui faisait des siennes, nous avons réussi à démarrer la bécane.
Mais depuis ce week-end, elle ne démarre de nouveau plus (sans avoir fait quoi que ce soit).
Je suis dans les analyses.
- l'étincelle est bien présente à la bougie (qui était bien noire)
- je viens de comprendre que le robinet du réservoir est à dépression, et je vais tester l'arrivée de l'essence dans le carbu.

J'ai l'impression d'avoir aussi un souci électrique. Je m'explique.
La batterie me semblait HS, et il m'était même impossible de la recharger (elle ne tenait pas du tout la charge). De plus, les infos du tableau de bord n'étaient pas sauvegardées.
Une fois la bécane en route, le tableau de bord s'allumait (normal, car alimentation par l'allumage).
Nous avons donc remis une batterie neuve.

Depuis, le fonctionnement est étrange.

Clé en position contact coupé (et même clé enlevée) le tableau de bord s'allume.
Dès que l'on met le contact, il s'éteint.

Je soupçonne un court circuit quelque part (qui pourrait aussi expliquer que la batterie précédente ne tenait pas la charge, non?).

Merci d'avance pour votre aide.

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